So, wir widmen uns heute, wahrscheinlich noch nächstes Mal noch, der Poisson-Gleichung.

Das Kryptum ist der Abschnitt 2.2.

Das heißt, wir betrachten minus Laplace u gleich f.

Erinnerung, der Laplace-Operator im Rn ist die Summe i von 1 bis n der reinen zweiten Ableitungen der Funktion.

Wir werden das betrachten in einem Gebiet Omega.

Wir werden sehen, wenn wir ein beschränktes Gebiet haben, werden wir auch noch weitere Randbedingungen brauchen, um die Lösung eindeutig bestimmen zu können.

Noch eine kleine Bemerkung, im Fall f gleich 0 spricht man auch von der Laplace-Gleichung.

Und auch dieser werden wir uns noch ein bisschen widmen.

Wir beginnen mit dem Fall n gleich 1.

Eigentlich eine gleiche Differentialgleichung, wir sagen Omega ist das Einheitsintervall 0,1 und wir betrachten also dann minus u2 Strich von x gleich f von x.

Sehen wir sofort, in diesem einfachen Fall, dass die Lösung natürlich niemals eindeutig bestimmt ist, weil die zweite Ableitung jeder linearen Funktion 0 ist.

Das heißt, ich kann mindestens zwei Parameter wählen oder anders gesagt, ich aufintegriere zwei Integrationskonstanten.

Um das also eindeutig zu bestimmen, brauche ich Randbedingungen.

Wir sagen jetzt einfach, wir machen links und rechts den Wert von u gegeben, u von 0 ist g0, u von 1 ist g1.

Und jetzt schauen wir uns mal an, wie die Lösung aussieht.

Hier ist es sehr einfach, weil wir einfach zweimal integrieren können und dann sofort sehen oder nachdem wir die Integrationskonstanten bestimmt haben, sehen wir wie die Lösung aussieht.

Also einmal integriert, kommt raus, minus u Strich von x ist eine Integrationskonstante a plus das Integral von 0 bis x von der Funktion f.

Das Ganze integrieren wir jetzt ein zweites Mal.

Dann kommt raus, minus u von x ist a mal x plus b, das erste Teil integriert plus Integrationskonstante, plus ein Integral von 0 bis x, das innere Integral, das wir vorher schon hatten, bis y, f dy dx.

Damit haben wir die Lösung quasi schon bestimmt.

Fehlen uns nur noch zwei Gleichungen für die Konstanten a und b und dafür verwenden wir natürlich die Randbedingungen.

Vorher machen wir hier noch ein bisschen was anderes.

Wir schreiben das Ganze hier um, um zu vermeiden, dass wir immer zwei Integrale haben.

Wir haben hier das Gebiet 0 kleiner gleich z kleiner gleich y und y ist immer kleiner gleich x.

Das heißt, wenn wir hier die Integrale vertauschen wollen, wir wollen also zuerst schreiben ein Integral über z, z geht dann höchstens bis x, also haben wir hier ein Integral von 0 bis x.

Und hier sehen wir y ist genau zwischen z und x, das heißt wir integrieren hier von z bis x.

f von z, dann haben wir zuerst, also hier war dz dy und jetzt haben wir eine Integration dy dz.

Erfahrungsgemäß, das kleine Hinweis, Vertauschen von Integralen dieser Art ist eine der häufigsten Fehlerquellen, auch in Übungen oder sonstigen Rechnungen.

Also um das richtig zu machen, empfehle ich immer, sich das wirklich, ist zwar trivial, aber sich das einfach so hinzuschreiben mit den Ungleichungen.

Dann kann man sich also auch überlegen, wie es richtig funktioniert.

Das heißt, wenn wir das Formel hinschreiben, haben wir vorne immer noch den linearen Anteil.

Und hier haben wir jetzt f von z, das wir rausheben können und wir haben ein Integral von z bis x, das wir explizit ausrechnen können.

Das heißt, wir haben hier ax plus b nach wie vor plus Integral 0 bis x, f von z und hier steht einfach x minus z dz.

Also haben wir es aus einem Integral bestimmt.

Und jetzt setzen wir ein für x gleich 0, wissen wir u von 0 ist g0, also steht hier minus g0, ist a mal 0 ist 0 plus b und das Integral fällt dann auch weg.

Das heißt, b ist einfach minus g0.

Und für x gleich 1 haben wir minus g1 an dieser Stelle, das ist a mal 1 plus b, b haben wir schon ausgerechnet, ist minus g0.

Plus das Integral von 0 bis 1, f von z, x ist 1, haben wir 1 minus z dz.

Gut, daraus bestimmen wir also a, das ist g0 minus g1 minus das Integral von 0 bis 1, f mal 1 minus z.

Das können wir jetzt einfach einsetzen, in die Formel da oben, das heißt, wir kriegen u von x,

immer aufpassen, dass ich hier das Vorzeichen ändere von minus zu plus, hier minus a, dann haben wir hier g1 minus g0 mal x, b war minus g0, dann ist es hier plus g0.

Dann haben wir noch das Integral von 0 bis 1, f von z, 1 minus z mal x plus das Integral von 0 bis x, f von z mal x.

Das heißt, wir haben jetzt explizit eine Lösungdarstellung gefunden für die Poissongleichung, abhängig von den Randwerten und von der rechten Seite.

Wenn wir uns noch einen geeigneten Kern definieren, können wir es auch so schreiben,

das Teil lassen wir mal gleich, und hier haben wir etwas von der Form im Kern von x und z,

eine Funktion muss ich so geeignet definieren, da muss ich vor allem eine Fallunterscheidung machen, ist z kleiner x oder z größer x,

da habe ich zwei verschiedene Definitionen, und man sieht tatsächlich, es gibt eine stetige Funktion, das lasse ich jetzt mal als Übung aufzuschreiben von dieser Form.

Jetzt sehen wir, wie die Lösung aussieht, wir haben hier sozusagen ein Integral der rechten Seite f,

und hier haben wir eigentlich ganz einfach das, was von den Randwerten kommt, das ist eigentlich, das sehen wir hier sofort, die Lösung von u2 Strich Gleich 0 mit den Randwerten g0 und g1,

und was wir hier haben, ist die Lösung von minus u2 Strich Gleich f mit den Randwerten u von 0 gleich u von 1 gleich 0,